Construcción de algunos números irracionales
ACTIVIDAD
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Observa y completa la siguiente tabla marcando con X el conjunto o los conjuntos a los cuales pertenece cada
número. Luego ayuda al docente a organizar el diagrama. -
Ahora, en conjunto, completen el diagrama.
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Recordaremos algunos temas vistos para así poder trabajar los números algebraicos y trascendentes. Lee con
atención y resuelve.Ejercicio
¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 2 = 0?
¿Cuál es la solución de la ecuación x² − 3 = 0?
¿Cuál es la solución en general para una ecuación de la forma nx − m = 0 donde n y m
son enteros y n es distinto de cero?¿Cuál es la solución en general para una ecuación
de la forma x² − m = 0 con m entero positivo?¿Cuál es la solución en general para una ecuación de la forma x³ − m = 0 con
m entero positivo? -
Observemos
Todo número racional, toda raíz cuadrada de un entero
positivo y toda raíz cúbica de un entero positivo son
soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes
enteros.En este sentido se tiene que: “Los números algebraicos son
todos aquellos que son solución de ecuaciones polinómicas
con coeficientes enteros.” -
Con la definición de números algebraicos, clara, responde a lo siguiente.
¿Existe alguno que NO sea algebraico?
Efectivamente existen números que NO son algebraicos por no ser solución de
ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros y reciben el nombre de números
TRASCENDENTES.
La trascendencia de algunos números como π solo fue demostrada en el siglo XIX,
aunque se haya trabajado con él desde la antigüedad, pues los babilonios, egipcios,
griegos y chinos conocían la existencia de π y trabajaban con aproximaciones de
este al relacionar la circunferencia con su diámetro:
π = c/d
donde
c: perímetro de la circunferencia
d: diámetro de la circunferencia. -
Aclarado el hecho que los números trascendentes no son algebraicos, piensa y responde a lo siguiente:
Si un número trascendente no es algebraico y todo racional es algebraico,
¿habrá algún número trascendente que sea racional? -
Ahora nos daremos paso al trabajo con los números irracionales, pero antes haremos un recuento de lo
trabajado hasta ahora.